Придумайте паркет

Урок математики с использованием ТРИЗ-технологий в 6-м классе «Паркеты»

  • Левашова Наталья Федоровна, учитель математики

Разделы: Математика

Тип урока: Урок комплексного использования знаний.

Задачи урока:

  • Систематизация и обобщение знаний по теме «Симметрия», изучение методов построения паркетов.
  • Развитие логического и пространственного мышления, умения самостоятельно работать, навыков самоконтроля, умения говорить и слушать, интереса учащихся к предмету, их стремление глубже усвоить предмет, навыки индивидуальной, групповой и коллективной работы.
  • Выработка привычки к постоянной занятости, воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности

Форма работы: групповая, фронтальная.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Изучение нового материала.

Среди огромного разнообразия орнаментов выделяются «паркеты» (мозаики). Паркетом называют заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда паркетом называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками). Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Элементом паркета является также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, даже произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов.

Придуманы паркеты, у которых несколько элементов образуют фигуру, подобную элементу паркета.

Замечательные паркеты придумывал знаменитый голландский художник Морис Эшер. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий.

Из всех работ Эшера лучше всего известные его орнаменты (или мозаика), то есть периодическое заполнение плоскости одинаковыми фигурами.

Морис Эшер интересовался всеми видами мозаик — регулярными и нерегулярными (нерегулярные мозаики образуют неповторяющиеся узоры) — а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

Сегодня, вы не ученики 6 класса, а творческая мастерская дизайнеров. И перед нами ставится задача создать оригинальный паркет, значит будем использовать ТРИЗ — технологии. Вспомним, что это такое.

  1. Постановка задачи
  2. Поиск подобной задачи в базе стандартных задач
  3. Разбиение поставленной задачи на стандартные
  4. Решение данной задачи посредством решения стандартных задач, на которые она разбита
  5. Внесение решенной задачи в базу стандартных задач

— Итак, задача поставлена. Встречалась ли нам до этого момента такая задача, можем ли мы ее назвать стандартной? — Нет. — Значит, приступаем ко второму этапу: разбиваем задачу на стандартные задачи и ищем их решение в банке стандартных задач.

1. Нужно выбрать элемент паркета и создать его.

Посмотрим, как это делается.

Мы уже научились производить построения на клетчатой бумаге еще в 5-м классе.

2. Заполнить этим элементом всю плоскость.

Как же это сделать? Есть ли такая задача в банке стандартных задач? Вспомним то, что мы изучали о координатной плоскости.

Задание 1.

Как вы думаете, есть ли какая-нибудь закономерность в изменении абсциссы точки? А ординаты? Давайте запишем это.

X = x0 + 3 Y = y0 + 1

Проверим, выполняется ли данное условие для других точек фигуры. Зафиксируем точку B(3;1) и определим координаты точек, в которые она перейдет.

А как вы думаете, сохраняется ли при данном преобразовании расстояние между точками? Проверим.

А что называется расстоянием между точками? Найдем расстояние между точками А и В, А1 и В1, А2 и В2

Параллельным переносом мы будем в дальнейшем пользоваться при построении различных графиков функций в старших классах.

Мы заполнили целую полосу. А что же дальше?

Переходим к следующему этапу: вносим эту задачу, решенную с использованием координатного метода, в базу стандартных задач.

А сейчас, мы, вооруженные новыми знаниями, приступим к работе.

Задание 2.

Работа в группах. Заполните плоскость фигурами и запишите, используя лист результатов , в какие точки при параллельном переносе переходят вершины фигур.

Как же заполнить плоскость без промежутков данными фигурами? Можно, конечно, попробовать разные способы, но тогда потребуется очень много времени. Попробуем систематизировать и рационализировать нашу работу.

При создании элемента паркета мы пользовались определенным свойством. Попробуем использовать его и сейчас. Найдем на элементе выступающую часть и такую же по размеру и форме часть «вырезанную» из внутренней области. Попробуем «приложить» фигуры. Не осталось ли незаполненных областей? Если нет, то продолжаем заполнение полосы. Заполнив полосу, можем параллельно перенести каждую точку этой полосы. Таким образом, мы заполним всю плоскость.

III. Подведение итогов.

Все знания, полученные на нашем уроке, вам будут необходимы в дальнейшем. Я надеюсь, что вы не утратили интереса, а, напротив, будете стремиться к знаниям более глубоким и не только на уроках математики, но и на других уроках, чтобы войти во взрослую жизнь грамотными и активными.

IV. Домашнее задание:

  1. Подумать, каким образом можно заполнить плоскость паркетом.
  2. Придумать и нарисовать свой паркет.

26.12.2011

Математические мозаики

Учимся делать мозаики

Геометрические преобразования и паркеты

Среди огромного разнообразия орнаментов выделяются «паркеты» (мозаики). Паркетом называют заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда паркетом называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками). Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Элементом паркета является также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, даже произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов. Некоторые из них изображены на рис. 1.

Математические мозаики: Рис.1

Придуманы паркеты, у которых несколько элементов образуют фигуру, подобную элементу паркета. Примеры таких паркетов приведены на рис. 2.

Математические мозаики: Рис.2

На рис. 3 приведен элемент простого паркета, который разбит на рисунке справа на четыре одинаковые фигурки — элементы нового паркета. А на рис. 4 показаны элементы нового паркета, также состоящие из четырех таких фигурок.

На рис. 5 приведен паркет, элементами которого являются одинаковые пятиугольники с углами 90°, 120°, 60°, 240° и 30°, которые получились разбиением правильного шестиугольника. Из этих пятиугольников образованы фигуры. Для каждой из них проверьте, является ли она элементом паркета. Придумайте паркеты, элементы которых состоят из указанных пятиугольников.

Математические мозаики: Рис.5

рис.5.

Всего существует 17 видов симметрии сетчатых орнаментов. Они схематично показаны на рис. 6 и 7. Первые семь из них (рис. 6, а-ж) допускают создание интересных паркетов без прямолинейных контуров.

Математические мозаики: Рис.6
Математические мозаики: Рис.7
Математические мозаики: Рис.8

рис.7.

Паркеты являются прекрасным материалом для вовлечения учащихся в интересную, содержательную и поучительную деятельность при изучении некоторых тем школьного курса математики. В данном случае занимательность имеет не внешний, формальный характер, а побуждает учеников к выяснению сути изучаемого материала. Они с успехом могут быть использованы в 5-9-х классах на уроках и во внеурочное время. Замечательные паркеты придумывал знаменитый голландский художник Морис Эшер. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий.

Простейшим видом паркета является такой, в котором плоскость заполняется фигурами с помощью параллельного переноса.

Его общая схема приведена на рисунке 6,а. Такие паркеты полезно использовать при изучении параллельного переноса, привлекая и описание с помощью формул, т. е. алгебраический метод.

Задание 1.

На рис. 8 показан паркет, т. е. заполнение всей плоскости одинаковыми (равными) фигурами. Как видно из рисунка, этот паркет может быть совмещен сам с собой разными параллельными переносами, например, на три клетки вправо и на одну клетку вверх. Этот параллельный перенос задается парой чисел (3; 1). Данный паркет также совмещается сам с собой параллельным переносом, который характеризуется парой чисел (- 6; — 2), или парой (- 2; 3). Проверьте!

Математические мозаики: Рис.9

рис.8.

Математические мозаики: Рис.10

рис.9.

Задание 2.

Смещая параллельным переносом фигуру (рис. 10, а, б), заполните ею всю плоскость. Охарактеризуйте каждый паркет парами чисел — координатами векторов, которые задают параллельные переносы предложенной фигуры. Найдите сумму, разность двух любых полученных векторов или произведение этих векторов на целое число. Какой вектор получите в каждом случае? Будет ли параллельный перенос, задаваемый этим вектором, совмещать паркет с самим собой?

Математические мозаики: Рис.11

Приведенные два задания аналогичны между собой, хотя сформулированы на разных языках. Выполняя их, ученики обнаруживают тесную связь между параллельными переносами и векторами. В этих заданиях ясно прослеживается возможность разложения каждого вектора полученного векторного пространства по двум базисным векторам. Задания дают более осязаемые и легче понимаемые примеры операций векторов, вектора и числа.

Задание 3 (для шестиклассников).

Найдите координаты точек (x; y) — концов отрезков в контуре нарисованной фигуры (рис. 11). Затем найдите координаты (X; Y) новых точек по правилу: X = — x — 3, Y = y — 4. Соедините полученные точки в том же порядке.

Математические мозаики: Рис.12

Задание 4.

Постройте фигуру, симметричную данной (рис. 12) относительно прямой a, а затем сместите полученную фигуру вниз на четыре клетки.

Математические мозаики: Рис.13

Заполните предложенной фигурой плоскость, получив паркет.

Фигуры на рис. 11 и 12 являются элементами паркета, общая схема которого показана на рис. 6 (б).

Задание 5.

На рис. 13 показано заполнение плоскости фигурой, дающее паркет, общая схема которого показана на рис. 6,в. Определите центры симметрии этого паркета. Продолжите заполнение плоскости данной фигурой.

Математические мозаики: Рис.14

Задание 6.

Постройте фигуру, симметричную данной относительно каждой из двух отмеченных точек (рис. 14). Заполните данной фигурой плоскость.

Математические мозаики: Рис.15

Задание 7.

Для каждой узловой точки фигуры, изображенной на рис. 14, найдите ее координаты (x; y) и постройте в той же системе точки с координатами (X; Y), найденными по формулам: X = — x — 6, Y = — y + 4. Соедините полученные точки в том же порядке. Что у вас получилось?

Задание 8.

  • Укажите преобразования (одно или два), которые одну из фигур, представленных на рис. 15, переводят в другую.
  • Введите систему координат и опишите в координатах одно из преобразований, совмещающее данный паркет с собой.
  • Продолжите заполнение плоскости предложенной фигурой.
Математические мозаики: Рис.16

рис.15.

Задание 9.

Математические мозаики: Рис.17
Математические мозаики: Рис.18
Математические мозаики: Рис.19

Задание 10.

Каждой из фигурок на рис. 19 заполните плоскость, получив паркет. Для этого скопируйте фигурки на кальку.

Математические мозаики: Рис.20

рис.19.

Задание 11.

Сравните фигурки на рис. 20. Скопируйте их на кальку и заполните плоскость, получив паркет.

Математические мозаики: Рис.21

рис.20.

Задание 12.

На рис. 21-36 представлены паркеты, придуманные автором (А. Цукарем, прим.). Изучите их строение и определите вид. Постройте многоугольник, равновеликий элементу паркета.

Приведенные паркеты можно использовать разнообразно. В 5-6-х классах полезно предложить ученикам фигурку — элемент паркета, увеличенный и вырезанный из картона, с тем, чтобы они заполнили ею плоскость. Это способствует формированию у школьников геометрического видения.

При изучении координат и векторов используются задания, аналогичные приведенным выше. И, конечно, они естественно применимы при изучении геометрических преобразований.

Паркеты также можно использовать при изучении темы «Площади плоских фигур» для иллюстрации идеи, состоящей в том, что за единицу площади может быть выбрана произвольная (квадрируемая) фигура, например, элемент паркета, а также для нахождения многоугольника, указанного в задании 12.

Для паркета, изображенного на рис. 21, площадь фигурки (пеликана) равна площади параллелограмма с вершинами в точках, являющихся глазами четырех соседних птиц. Для остальных фигур такие многоугольники находятся без большого труда.

В заключение приведем паркет (рис. 37), в котором использованы три различные фигурки. Он получен из паркета, изображенного на рис. 33, заменой фигурок собачек новыми фигурками. Площади всех фигурок паркета равны.

Математические мозаики: Рис.38

рис.37.

Автор: А. Цукарь, Новосибирск

Cтатьи о природе, изобретениях, архитектуре, иллюзиях…

Поделиться:
Нет комментариев

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.