Паркет тетрамино

В настоящее время в методике обучения математике большое внимание уделяется проблеме построения пропедевтических курсов геометрии. Основной методической линией этих курсов является организация специальной геометрической деятельности учащихся.

Мы создали и апробировали программу по изучению геометрического материала для 5–6-х классов (она была частично опубликована в газете «Математика» за 2000 г., № 18), реализация которой также предполагает включение учащихся в геометрическую деятельность. Для усвоения в полном объеме всеми аспектами содержания предложенного нами пропедевтического курса геометрии, учащиеся, на доступном им уровне, должны овладеть компонентами геометрической деятельности: логическим, пространственным, интуитивным, метрическим, конструктивным, символическим. В содержание курса включена система предметно-практических, прикладных задач и упражнений, а также разнообразные развивающие игры: оригами, танграм, стомахион и другие.

Элементы игры вырезаны из квадратного (3×3) куска паркета, состоящего из рядов квадратных плиток, сдвинутых на половину стороны. Всего получится 10 комбинаций — элементов, составленных из четырех квадратов (рис.1). Используя этот набор, сложите геометрические фигуры, изображенные на рис.2. Для фигуры № 5 дано решение. Придумайте также другие фигуры, которые можно сложить из элементов тетрамино—паркета.

Рис.1

Рис.2

Имеются шесть бумажных прямоугольных полосок с соотношением сторон 4×1 и фломастер. Раскрасьте полоски, как показано на рис. 3. Накладывая полоски друг на друга (переплетения запрещены), составьте заданный узор. Последовательность составления узора показана на рис. 4. Составьте, описанным выше способом, узоры представленные на рис. 5.

Новые материалы:

Военно-спортивная полоса препятствий для 10-11-х классов :: Урок изучения новой темы по ОБЖ во 2-м классе по теме «Меры безопасности при общении с домашними животными» :: Внеклассное мероприятие для учащихся 6–7-х классов на тему: «По тропинкам мифологического Египта» :: Разработка внеклассного мероприятия «Моя малая родина» :: Конспект урока по ОБЖв 11-м классе по теме «Основные понятия о воинской обязанности» :: Конверт, 2017 :: Дом и дача/Мебель/Мебель/Прихожие/Обувницы/Тумбы / Вентал / Тумба для обуви Viva-3 10000164 ::

Отзывы (через аккаунты в социальных сетях Вконтакте, Facebook или Google+):

Оставить отзыв с помощью аккаунта ВКонтакте:

Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (2 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Полимино

В этой статье мы будем рассматривать полимино — фигуры, составленные из одноклеточных квадратов так, что каждый квадрат примыкает хотя бы к одному соседнему, имеющему с ним общую сторону.

Задачи с полимино очень характерны для комбинаторной геометрии — раздела математики, занимающегося вопросами взаимного расположения и комбинирования геометрических фигур. Это очень красивая, но еще почти не разработанная ветвь математики, поскольку общих методов в ней, по-видимому, очень мало, а известные ныне методы настолько примитивны, что не поддаются усовершенствованию. Многие встречающиеся в практике важные инженерные задачи — в первую очередь те, которые связаны в том или ином смысле с оптимальным расположением фигур заданной формы, — по существу относятся к комбинаторной геометрии.

В последующих комбинаторных задачах предполагается, что полимино можно вращать (то есть поворачивать на 90, 180 или 270) и зеркально отражать (переворачивать), не меняя формы самих фигур.

Домино

Рис. 1

Домино состоит из двух квадратов и может иметь лишь одну форму — форму прямоугольника размером 1×2 (см. рис. 1). Первая связанная с домино задача, вероятно, многим знакома: даны шахматная доска, из которой вырезана пара противоположных угловых клеток, и коробка домино, каждое из которых покрывает ровно две клетки шахматной доски (см. рис. 2). Возможно ли целиком покрыть доску с помощью 31 кости домино (без свободных клеток и наложений)? Ответ на этот вопрос гласит: «НЕТ» и имеет замечательное доказательство. Шахматная доска содержит 64 чередующиеся клетки белой и черной раскраски (имеется в виду обычная шахматная раскраска доски). Каждая положенная на такую доску и покрывающая две соседние клетки кость домино покроет одно белое и одно черное поле, а n костей домино — n белых и n черных полей, т.е. поровну и тех и других. Но изображенная на рисунке шахматная доска содержит больше черных клеток, чем белых, и потому ее нельзя покрыть костями домино. Этот результат есть типичная теорема комбинаторной геометрии.

Рис. 2

Тримино

Рис. 3

Тримино (или триомино) — полимино третьего порядка, то есть многоугольник, полученный путём объединения трёх равных квадратов, соединённых сторонами. Если повороты и зеркальные отражения не считать различными формами, то существует только две «свободных» формы тримино (см. рис.3): прямое (I-образное) и угловое (L-образное).

Тетрамино

Рис. 4

С тетрамино связано множество задач на составление из них разных фигур. Доказано, что сложить какой-либо прямоугольник из полного набора тетрамино невозможно. Доказательство использует раскраску в шахматном порядке. Все тетрамино, кроме Т-образного, содержат 2 чёрные и 2 белые клетки, а Т-образное тетрамино — 3 клетки одного цвета и 1 клетку другого. Поэтому любая фигура из полного набора тетрамино (см. рис.4) будет содержать клеток одного цвета на две больше, чем другого. Но любой прямоугольник, с чётным количеством клеток, содержит равное число чёрных и белых клеток.

Пентамино

Рис. 5

Полимино, покрывающее пять клеток шахматной доски, называются пентамино. Существует 12 видов пентамино, которые можно обозначить прописными латинскими буквами, как указано на рисунке (см. рис. 5). В качестве приема, позволяющего легко запомнить эти наименования, укажем, что соответствующие буквы составляют конец латинского алфавита (TUVWXYZ) и входят в имя FiLiPiNo. Поскольку всего имеется 12 разных пентамино и каждая из этих фигур покрывает пять клеток, то вместе они покрывают 60 клеток.

Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20 (см. рис. 6).

Рис. 6

Для случая 6×10 эту задачу впервые решил в 1965 году Джон Флетчер. Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10, не считая поворотов и отражений целого прямоугольника, но считая повороты и отражения его частей (иногда внутри прямоугольника образуется симметричная комбинация фигур, поворачивая которую можно получить дополнительные решения).

Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений, 4×15 — 368 решений, 3×20 — всего 2 решения (отличающихся вышеописанным поворотом). В частности, существует 16 способов сложить два прямоугольника 5×6, из которых можно составить как прямоугольник 6×10, так и 5×12.

Еще одна интересная задача о пентамино — задача об утроении фигур пентамино (см. рис. 7). Эта задача была предложена профессором Калифорнийского университета Р.М.Робинсоном. Выбрав одну из 12 фигур пентамино, необходимо построить из каких-либо 9 из 11 оставшихся пентамино фигуру, подобную выбранной, но в 3 раза бо́льшей длины и ширины. Решение существует для любого из 12 пентамино, причём не единственное (от 15 решений для Х до 497 для Р). Существует вариант этой задачи, в котором для построения утроенной фигуры разрешается использовать также и саму исходную фигуру. В этом случае число решений от 20 для Х до 9144 для Р-пентамино.

Рис. 7