Паркет из треугольников

Цель занятия:

На этом занятии Вы узнаете, какой многоугольник называется правильным. Научитесь отличать правильный многоугольник от произвольного многоугольника, а также находить внутренние углы правильного многоугольника. Узнаете, можно ли описать окружность около любого правильного многоугольника и как можно найти сторону правильного многоугольника, зная радиус описанной окружности.

Правильные многоугольники

Вы хорошо знакомы с двумя видами правильных многоугольников. Это равносторонний треугольник и квадрат. Квадрат можно назвать правильным четырехугольником.

Давайте разберемся, какими свойствами обладают эти фигуры. Равносторонний треугольник и квадрат относятся к выпуклым многоугольникам.

Вспомните, что такое многоугольники и какие многоугольники называются выпуклыми. Для этого посмотрите фрагмент видеоурока «Правильный многоугольник».

Нажмите на значок

Помимо того, что квадрат и равносторонний треугольник являются выпуклыми, все стороны у этих фигур равны между собой, так же, как и углы. В равностороннем треугольнике все внутренние углы составляют 60°, а в квадрате 90°.

По определению правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Задание 1.

Ответьте на поставленные вопросы и обсудите ответы с учителем на форуме или в видеокомнате:

  1. Могут ли в треугольнике все углы быть равны, а стороны нет? Почему?
  2. Могут ли в треугольнике все стороны быть равны, а углы нет? Почему?
  3. Можно ли сказать, что равносторонний треугольник является правильным треугольником? Можно ли сказать, что треугольник, у которого все углы равны, является правильным?
  4. Можно ли найти выпуклый четырехугольник, у которого все стороны равны, а углы нет? Если да, поясните, какой это четырехугольник.
  5. Можно ли найти выпуклый четырехугольник, у которого все углы равны, а стороны нет? Если да, поясните, какой это четырехугольник.

Можно построить правильный многоугольник с любым числом сторон. Подсчитайте, сколько сторон имеют изображенные на рисунке 1 правильные многоугольники?

Рисунок

Из правильных многоугольников можно составлять паркеты. Паркетом в математике называют набор фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечения фигур и без зазоров между ними. Если паркет состоит только из правильных многоугольников, то два многоугольника в нем либо имеют одну общую сторону и две общих вершины, либо имеют одну общую вершину, либо не имеют общих точек.

Выполните лабораторную работу на составление паркетов из правильных многоугольников, обратившись к электронному образовательному ресурсу «Правильные многоугольники».

Задание 2.

Ответьте на два вопроса и обсудите ответы с учителем на форуме или в видеокомнате:

  1. Из каких правильных многоугольников можно составить паркет?
  2. Сколько правильных многоугольников (с равными сторонами) может находиться вокруг каждой точки паркета?

Для того, чтобы правильно ответить на эти вопросы, нужно знать величины внутренних углов разных правильных многоугольников. Для этого выведем формулу для нахождения внутреннего угла в правильном многоугольнике.

Второй способ вывести эту формулу: произвольный выпуклый n-угольник следует разбить на n-треугольников таким образом, чтобы все они обладали одной общей вершиной, а две другие вершины совпадали с вершинами n-угольника, как это показано для правильного восьмиугольника на рисунке 3.

Задание 3*.

Сформулируйте и докажите теорему, позволяющую определить сумму внутренних углов произвольного n-угольника на плоскости. Обсудите доказательство с учителем на форуме или в видеокомнате.

Так как в правильном многоугольнике все углы равны между собой, для нахождения величины угла правильного многоугольника нужно сумму внутренних углов многоугольника разделить на число углов. Таким образом получаем формулу для нахождения угла в правильном n-угольнике: .

Чтобы определить, из каких правильных многоугольников можно составлять паркеты, нужно, во-первых, знать величины внутренних углов этих многоульников.

Воспользуйтесь формулой для нахождения углов правильного многоугольника и заполните следующую таблицу:

Понятно, что у каждой точки паркета должны сходиться такие правильные многоугольники, углы которых, взятые по одному от каждого, в сумме равны 360°.

Например, паркет можно составить только из правильных треугольников. При этом в каждой точке паркета будет сходиться 6 треугольников, т.к. .

Можно вывести общую формулу для нахождения видов правильных многоугольников, из которых можно составлять паркеты (если все многоугольники имеют одинаковое число сторон).

В каждой точке паркета должно сходиться целое число углов многоугольника. Это означает, что 360° должно делиться без остатка на число, показывающее величину угла правильного многоугольника.

.

Так как нужно получить целое число, то должно быть целым. Это возможно в трех случаях: 1) n = 3; 2) n = 4; 3) n = 6. Значит, паркет можно составить из правильных треугольников, четырехугольников (квадратов), шестиугольников.

Задание 4.

Ответьте на вопрос: сколько квадратов и шестиугольников будут сходиться в каждой точке паркета?

Паркет можно складывать не только из одинаковых правильных многоугольников, но и из разных.

Выполните Задание 5. Обсудите результаты его выполнения с учителем на форуме или в видеокомнате.

Задание 5.

Найдите все варианты построения паркета, если у каждой точки сходится:

  1. три стороны многоугольников;
  2. четыре стороны многоугольников;
  3. пять сторон многоугольников.

Ещё одна важная теорема — о сумме внешних углов треугольника. Чтобы ознакомиться с её формулировкой и доказательством, посмотрите ещё один фрагмент видеоурока «Правильный многоугольник».

Нажмите на значок

Таким образом, оказывается, что, хотя сумма внутренних углов выпуклого многоугольника зависит от числа углов, сумма внешних углов — не зависит и составляет 360°. Итак,

Изучите решение двух типичных задач на рассмотренные теоремы, для чего посмотрите последний фрагмент видеоурока «Правильный многоугольник».

Нажмите на значок

Теорема о существовании и единственности окружности, описанной около правильного многоугольника

Для того, чтобы вспомнить, что такое описанная окружность, просмотрите первый фрагмент видеоурока «Окружность, описанная около правильного многоугольника».

Нажмите на значок

Вопрос о возможности описания окружности около любого правильного многоугольника вполне естественный. Вы хорошо знаете, что около любого треугольника, в том числе и правильного можно описать окружность. Это означает, что существует окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Именно такая окружность называется описанной около треугольника.

А вот около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Можно это сделать лишь тогда, когда суммы противоположных углов четырехугольника равны, и каждая из них равна 180°. Около правильного четырехугольника (квадрата) как раз можно описать окружность, т.к. для него это условие выполняется.

Поработайте с электронным модулем «Правильные многоугольники. Теорема об описанных окружностях», чтобы разобраться в том, как можно доказать, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Кроме возможности описать окружность около правильного многоугольника очень легко установить, что такая окружность единственная. Подумайте, как это можно сделать, прежде чем заглянуть в ответ.

Ответ.

Решите следующие две задачи.

Задача 1.

Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам правильного многоугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Задача 2.

Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.

Доказательство.

Понятие серединного перпендикуляра имеет большое значение в теории описанных окружностей. Для более полного понимания, что из себя представляет и зачем нужен серединный перпендикуляр, посмотрите фрагмент видеоурока «Окружность, описанная около правильного многоугольника».

Нажмите на значок

Разберите решение следующей задачи, перерисуйте чертеж с рисунка и поставьте на нем обозначения, которые есть в описании решения.

Задача 3.

Докажите, что если все углы вписанного пятиугольника равны между собой, то этот пятиугольник правильный.

  1. 1 + 2 = 2 + 3;
  2. 2 + 3 = 3 + 4;
  3. 3 + 4 = 4 + 5;
  4. 4 + 5 = 5 + 1;
  5. 5 + 1 = 1 + 2.

Из первого равенства получим 1 = 3; из второго 2 = 4; из третьего 3 = 5; из четвертого 4 = 1; из пятого 5 = 2. Таким образом, все углы при основаниях равнобедренных треугольников равны, значит и все углы при вершинах этих треугольников также будут равны. Из этого следует, что пятиугольник имеет равные стороны, а значит он правильный.

Формула, связывающая сторону правильного многоугольника с радиусом описанной окружности

Для разминки выполните упражнение 1.

Упражнение 1.

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Решение.

В случае правильного шестиугольника найти, как связана сторона шестиугольника с радиусом описанной окружности, просто. Теперь разберёмся, как установить эту связь для любого правильного многоугольника.

Тогда угол , угол . Из свойств прямоугольного треугольника: . И поскольку а , получаем:

.

Итак, сторона правильного многоугольника () через радиус описанной окружности может быть выражена следующим образом:

.

Выполните самостоятельно упражнения 2 и 3.

Упражнение 2.

Проверьте, что ранее полученный результат для стороны правильного шестиугольника можно получить и по этой формуле.

Решение.

Упражнение 3.

Найдите самостоятельно выражения для стороны правильного треугольника и правильного четырехугольника через радиус описанной окружности.

Ответ.

По выведенной формуле, зная радиус описанной окружности, можно найти длину стороны любого правильного многоугольника и, наоборот, зная длину стороны правильного многоугольника можно найти радиус описанной около него окружности.

Поделиться:
Нет комментариев

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.