Паркет из фигур

Математические мозаики

Учимся делать мозаики

Геометрические преобразования и паркеты

Среди огромного разнообразия орнаментов выделяются «паркеты» (мозаики). Паркетом называют заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда паркетом называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками). Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Элементом паркета является также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, даже произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов. Некоторые из них изображены на рис. 1.

Придуманы паркеты, у которых несколько элементов образуют фигуру, подобную элементу паркета. Примеры таких паркетов приведены на рис. 2.

На рис. 3 приведен элемент простого паркета, который разбит на рисунке справа на четыре одинаковые фигурки — элементы нового паркета. А на рис. 4 показаны элементы нового паркета, также состоящие из четырех таких фигурок.

На рис. 5 приведен паркет, элементами которого являются одинаковые пятиугольники с углами 90°, 120°, 60°, 240° и 30°, которые получились разбиением правильного шестиугольника. Из этих пятиугольников образованы фигуры. Для каждой из них проверьте, является ли она элементом паркета. Придумайте паркеты, элементы которых состоят из указанных пятиугольников.

рис.5.

Всего существует 17 видов симметрии сетчатых орнаментов. Они схематично показаны на рис. 6 и 7. Первые семь из них (рис. 6, а-ж) допускают создание интересных паркетов без прямолинейных контуров.

рис.7.

Паркеты являются прекрасным материалом для вовлечения учащихся в интересную, содержательную и поучительную деятельность при изучении некоторых тем школьного курса математики. В данном случае занимательность имеет не внешний, формальный характер, а побуждает учеников к выяснению сути изучаемого материала. Они с успехом могут быть использованы в 5-9-х классах на уроках и во внеурочное время. Замечательные паркеты придумывал знаменитый голландский художник Морис Эшер. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий.

Простейшим видом паркета является такой, в котором плоскость заполняется фигурами с помощью параллельного переноса.

Его общая схема приведена на рисунке 6,а. Такие паркеты полезно использовать при изучении параллельного переноса, привлекая и описание с помощью формул, т. е. алгебраический метод.

Задание 1.

На рис. 8 показан паркет, т. е. заполнение всей плоскости одинаковыми (равными) фигурами. Как видно из рисунка, этот паркет может быть совмещен сам с собой разными параллельными переносами, например, на три клетки вправо и на одну клетку вверх. Этот параллельный перенос задается парой чисел (3; 1). Данный паркет также совмещается сам с собой параллельным переносом, который характеризуется парой чисел (- 6; — 2), или парой (- 2; 3). Проверьте!

рис.8.

рис.9.

Задание 2.

Смещая параллельным переносом фигуру (рис. 10, а, б), заполните ею всю плоскость. Охарактеризуйте каждый паркет парами чисел — координатами векторов, которые задают параллельные переносы предложенной фигуры. Найдите сумму, разность двух любых полученных векторов или произведение этих векторов на целое число. Какой вектор получите в каждом случае? Будет ли параллельный перенос, задаваемый этим вектором, совмещать паркет с самим собой?

Приведенные два задания аналогичны между собой, хотя сформулированы на разных языках. Выполняя их, ученики обнаруживают тесную связь между параллельными переносами и векторами. В этих заданиях ясно прослеживается возможность разложения каждого вектора полученного векторного пространства по двум базисным векторам. Задания дают более осязаемые и легче понимаемые примеры операций векторов, вектора и числа.

Задание 3 (для шестиклассников).

Найдите координаты точек (x; y) — концов отрезков в контуре нарисованной фигуры (рис. 11). Затем найдите координаты (X; Y) новых точек по правилу: X = — x — 3, Y = y — 4. Соедините полученные точки в том же порядке.

Задание 4.

Постройте фигуру, симметричную данной (рис. 12) относительно прямой a, а затем сместите полученную фигуру вниз на четыре клетки.

Заполните предложенной фигурой плоскость, получив паркет.

Фигуры на рис. 11 и 12 являются элементами паркета, общая схема которого показана на рис. 6 (б).

Задание 5.

На рис. 13 показано заполнение плоскости фигурой, дающее паркет, общая схема которого показана на рис. 6,в. Определите центры симметрии этого паркета. Продолжите заполнение плоскости данной фигурой.

Задание 6.

Постройте фигуру, симметричную данной относительно каждой из двух отмеченных точек (рис. 14). Заполните данной фигурой плоскость.

Задание 7.

Для каждой узловой точки фигуры, изображенной на рис. 14, найдите ее координаты (x; y) и постройте в той же системе точки с координатами (X; Y), найденными по формулам: X = — x — 6, Y = — y + 4. Соедините полученные точки в том же порядке. Что у вас получилось?

Задание 8.

• Укажите преобразования (одно или два), которые одну из фигур, представленных на рис. 15, переводят в другую.
• Введите систему координат и опишите в координатах одно из преобразований, совмещающее данный паркет с собой.
• Продолжите заполнение плоскости предложенной фигурой.

рис.15.

Задание 9.

Задание 10.

Каждой из фигурок на рис. 19 заполните плоскость, получив паркет. Для этого скопируйте фигурки на кальку.

рис.19.

Задание 11.

Сравните фигурки на рис. 20. Скопируйте их на кальку и заполните плоскость, получив паркет.

рис.20.

Задание 12.

На рис. 21-36 представлены паркеты, придуманные автором (А. Цукарем, прим.). Изучите их строение и определите вид. Постройте многоугольник, равновеликий элементу паркета.

Приведенные паркеты можно использовать разнообразно. В 5-6-х классах полезно предложить ученикам фигурку — элемент паркета, увеличенный и вырезанный из картона, с тем, чтобы они заполнили ею плоскость. Это способствует формированию у школьников геометрического видения.

При изучении координат и векторов используются задания, аналогичные приведенным выше. И, конечно, они естественно применимы при изучении геометрических преобразований.

Паркеты также можно использовать при изучении темы «Площади плоских фигур» для иллюстрации идеи, состоящей в том, что за единицу площади может быть выбрана произвольная (квадрируемая) фигура, например, элемент паркета, а также для нахождения многоугольника, указанного в задании 12.

Для паркета, изображенного на рис. 21, площадь фигурки (пеликана) равна площади параллелограмма с вершинами в точках, являющихся глазами четырех соседних птиц. Для остальных фигур такие многоугольники находятся без большого труда.

В заключение приведем паркет (рис. 37), в котором использованы три различные фигурки. Он получен из паркета, изображенного на рис. 33, заменой фигурок собачек новыми фигурками. Площади всех фигурок паркета равны.

рис.37.

Автор: А. Цукарь, Новосибирск

Dmitry 24.06.2005

Паркет (или мозаика) — бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек; но мы будем рассматривать как правильные, так и неправильные многоугольники. Итак, какими же многоугольниками можно замостить плоскость?

Паркеты из одинаковых правильных многоугольников

Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2). Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/n. Преобразуем отношение этих чисел:

Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.

Паркеты из разных правильных многоугольников

Сначала выясним, какое количество различных правильных многоугольников (с одинаковыми длинами сторон) может находиться вокруг каждой точки. Величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая); следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, должно быть больше 2 (360°/180°) и не может превышать 6 (360°/60°).

Можно показать, что существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) — два варианта паркета; (3,4,4,6) — четыре варианта; (3,3,3,4,4) — четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках — обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 — правильный треугольник, 4 — квадрат, 6 — правильный шестиугольник, 12 — правильный двенадцатиугольник). Некоторые варианты паркета показаны на следующих иллюстрациях:

Остальные варианты паркетов, а также доказательство того, что не существует других вариантов укладки паркета из правильных многоугольников (при условии, что любые два многоугольника в паркете имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек), см. в дополнительных статьях.

Паркеты из неправильных многоугольников

Легко покрыть плоскость параллелограммами:

Вообще можно замостить плоскость копиями произвольного четырехугольника, необязательно выпуклого:

Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма.

Еще плоскость можно покрыть копиями центрально-симметричного шестиугольника, или копиями пятиугольника с двумя параллельными сторонами. До сих пор не найдены все типы выпуклых пятиугольников, из которых складываются паркеты. Зато доказана теорема, утверждающая: «Нельзя сложить паркет из копий выпуклого семиугольника». В то же время существуют паркеты из невыпуклых семиугольников:

Паркеты из произвольных фигур

Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками; в этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами (в частном случае — многоугольниками, правильными или неправильными, выпуклыми или невыпуклыми). В таком случае даже для паркетов из многоугольников может не соблюдаться требование «два многоугольника должны иметь общую вершину, общую сторону или совсем не иметь общих точек»; кроме того, появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур. Рассмотрим способы построения нового паркета, исходя из этого «расширенного» определения. Итак, как нарисовать паркет? (некоторые из возможных способов)

Способ первый. Берем некоторую сетку (уже известный нам паркет) — из правильных треугольников, шестиугольников, квадратов, или из произвольных многоугольников, и выполняем преобразования: сжатие/растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков… Пример: паркеты, полученные заменой отрезков «квадратной» сетки некоторыми кривыми или ломаными.

Способ второй. Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Примеры: паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки:

Паркет, каждый элемент которого получен в результате объединения пяти правильных треугольников:

Способ третий. Берем существующую сетку и дополняем ее новыми линиями. Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. В частном случае — накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета. Пример (разбиения сетки из греческих крестов):

Способ четвертый. Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать… получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета). Если рассматривать только незамкнутые кривые и ломаные, паркеты будут напоминать полученные способом № 1. Для получения следующего паркета была взята дуга спирали, три раза повернута на 90°, а затем к получившейся фигуре был применен параллельный перенос.

А вот паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников:

Совмещая вершины звездчатых многоугольников, получаем паркеты, состоящие из правильных восьмиугольников, равнобедренных прямоугольных треугольников, а также из невыпуклых 16-угольников, напоминающих крест. На первом рисунке есть еще один элемент — выпуклый четырехугольник.

Источник: http://netnotes.narod.ru/math/parket1.html

Ссылки по теме и дополнительные источники: А.Н.Колмогоров. Паркеты из правильных многоугольников. Журнал «Квант» № 3, 1970 г. Ю.А. Шашкин. Паркеты. П.И.Совертков и др. Геометрический паркет на экране компьютеражурнал «Информатика и образование, № 9 за 2002 г.

Статью подготовил: Родион Гуржеев