Паркет геометрия

Парке́т

или замощение — разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий.

Содержание

  • 1 Терминология

    • 1.1 Замощения, мозаики, паркеты, разбиения
    • 1.2 Покрытия и упаковки
    • 1.3 Протоплитки
    • 1.4 Конфигурации вершин и граней
  • 2 Виды паркетов

    • 2.1 Паркеты на плоскости

      • 2.1.1 Правильные паркеты
      • 2.1.2 Полуправильные паркеты
      • 2.1.3 Квазиправильные паркеты
      • 2.1.4 Неоднородные паркеты
      • 2.1.5 Непериодические паркеты и апериодические множества плиток
    • 2.2 Сферические многогранники
    • 2.3 Гиперболические паркеты
  • 3 Задачи на паркетах

    • 3.1 Перечисление паркетов
  • 4 См. также
  • 5 Примечания
  • 6 Литература
  • 7 Ссылки

Терминология

Замощения, мозаики, паркеты, разбиения

Паркеты иначе называются замощениями, мозаиками (англ. tessellation, tiling), разбиениями плоскости (англ. partition), паркетажами. Замощения трёхмерного пространства и пространств высших размерностей часто называют со́тами.

В математической литературе слова tessellation, paving, mosaic и parquetting используются как синонимы или со сходными значениями. Немецкие слова для мозаики — Pflasterung, Felderung, Teilung, Parkettierung и Zerlegung; французские слова — pavage, carrelage и dallage; русские слова — , и .

In mathematical literature, the words tessellation, paving, mosaic and parquetting are used synonymously or with similar meanings. The German words for tiling are Pflasterung, Felderung, Teilung, Parkettierung and Zerlegung. The French words are pavage, carrelage and dallage. The Russian words are , and .

Паркеты с областями (плитками) произвольной формы иногда называют картами (см., напр., теорема о четырёх красках).

Покрытия и упаковки

Если объединение нескольких фигур содержит данную фигуру Ф, то говорят, что эти фигуры образуют покрытие фигуры Ф. При этом покрывающие фигуры могут перекрываться, но покрывают фигуру Ф без пробелов.

Замощение — это разбиение фигуры на части. Замощение является одновременно покрытием и упаковкой[2][3].

Протоплитки

Протоплитки паркета (англ. prototiles, также прототипы[4]) — это плитки (формы), входящие в паркет. Каждая плитка паркета конгруэнтна одной из протоплиток[5].

Паркет называется k-эдрическим, если множество его протоплиток (протомножество) состоит из k плиток[4][2].

Конфигурации вершин и граней

Ромботришестиугольный паркет[en] состоит из плиток трёх типов: равносторонний треугольник, квадрат и гексагон. Эти плитки располагаются вокруг каждой из вершин в следующем порядке: треугольник, квадрат, шестиугольник, квадрат. Такой порядок называется конфигурацией вершины паркета и записывается в форме 3.4.6.4. В случае, если два и более числа в этой последовательности идут подряд, используется сокращённая запись: треугольный паркет может быть обозначен как 3.3.3.3.3.3 или как 36. При этом записи, отличающиеся лишь циклической перестановкой чисел или изменением порядка записи на противоположный (например, 3.3.4.3.4 и 4.3.3.4.3), обозначают одну и ту же конфигурацию вершины; в то же время запись 3.4.4.6 не эквивалентна записи 3.4.6.4[4][7][8][9][10].

Конфигурацией грани[en] называется последовательность степеней вершин этой грани при обходе её в одном направлении. Конфигурация грани записывается последовательностью чисел в квадратных скобках[2] или с префиксом V.

Виды паркетов

Во многих случаях принимается условие эквивалентности каждой из протоплиток паркета топологическому диску; иными словами, плитка не должна состоять из нескольких частей (квазиполимино[11]), содержать «отверстия», быть бесконечной полосой и т.п.[2][4].

Паркеты на плоскости

Правильные паркеты

Паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников, называют правильными паркетами (англ. regular tilings). Существует три правильных замощения плоскости: треугольный паркет, квадратный паркет и шестиугольный паркет[12][9][13].

Правильные паркеты называют также платоновыми паркетами[14].

Для обозначения паркета из правильных p-угольников, расположенных по q вокруг каждой вершины, применяется символ Шлефли {p, q}. Символы Шлефли трёх правильных мозаик — {3,6}, {4,4} и {6,3}[6].

Полуправильные паркеты

Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии (самосовмещение), переводящее одну из них в другую, называются полуправильными паркетами (англ. semiregular tilings) или архимедовыми паркетами[15][16][17][9].

Существует два определения, приводящих к одному и тому же набору из 8 полуправильных паркетов на плоскости.

Второе, «глобальное» определение, требует, чтобы для любых двух вершин паркета существовало преобразование симметрии (самосовмещение паркета), переводящее одну из них в другую.

В математической литературе значения терминов «архимедов паркет», «полуправильный паркет» и «однородный паркет» варьируются.

Квазиправильные паркеты

Квазиправильный паркет (или многогранник) (англ. quasiregular tiling) — однородный паркет (или многогранник), состоящий из граней двух видов, чередующихся вокруг каждой вершины; иными словами, каждая грань окружена гранями другого типа[18][19][20].

На плоскости Лобачевского существует бесконечное множество квазиправильных паркетов вида <math>p.q.p.q,</math> где <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}<\frac{1}{2}.</math>

Неоднородные паркеты

Существует бесконечное множество неоднородных (англ. non-uniform) паркетов, состоящих из правильных многоугольников.

Периодические неоднородные паркеты можно классифицировать по числу орбит вершин, рёбер и граней. Если число орбит вершин равно n, паркет называется n-однородным (англ. n-uniform) или n-изогональным; если число орбит рёбер равно nn-изотоксальным (англ. n-isotoxal). Вышеприведённые примеры представляют собой четыре из двадцати 2-однородных паркетов[2][9][21].

Непериодические паркеты и апериодические множества плиток

Разбиение T называется периодическим, если среди симметрий T существуют два параллельных переноса в непараллельных направлениях. В этом случае мозаику можно считать состоящей из повторений небольшого фрагмента, выложенного из элементов в узлах некоторой решётки. Множество прототипов (протомножество) P называется апериодическим, если оно реализуется в каких-то разбиениях плоскости, но ни одно из этих разбиений не является периодическим[4].

Позднее были найдены апериодические протомножества с ме́ньшим числом плиток. Роджер Пенроуз обнаружил апериодические протомножества, состоящие из двух плиток[2][23][25].

Сферические многогранники

Сферический паркет или сферический многогранник — разбиение сферы на сферические многоугольники дугами больших кругов[28].

Помимо сферических аналогов пяти «платоновых тел», существует два семейства правильных сферических многогранников, не имеющих эквивалентов среди многогранников с плоскими гранями: осоэдры — многогранники с двумя вершинами, находящимися на полюсах сферы, грани которых являются конгруэнтными двуугольниками, и диэдры — двойственные осоэдрам двугранники, вершины которых находятся на экваторе сферы.

Гиперболические паркеты

Аксиома параллельности Евклида (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит:

В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:

Для изображения гиперболической плоскости применяется одна из существующих моделей — модель Бельтрами — Клейна, конформный диск Пуанкаре, модель Пуанкаре на полуплоскости[29].

Задачи на паркетах

Большое количество задач и головоломок связано с разбиением прямоугольников (или других связных фигур) на плитки из определённого заданного множества протоплиток. Сами протоплитки при этом могут представлять собой связные объединения ячеек правильного паркета.

В других задачах устанавливается дополнительное ограничение на количество плиток каждого вида, используемых в замощении. В задачах, связанных с пентамино, требуется покрыть 12 фигурами заданное подмножество квадратного паркета, состоящее из 60 клеток (прямоугольники 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10, шахматная доска с вырезанным в центре квадратным тетрамино и др.); при этом каждая плитка должна быть использована ровно один раз[11][30].

Перечисление паркетов

Задача определения количества паркетов, состоящих из выпуклых многоугольников заданного типа, решена лишь частично:

  • Любым треугольником или четырёхугольником можно замостить плоскость[4][31][32].
  • Известно 15 пятиугольников, способных замостить плоскость; неизвестно, является ли этот перечень полным[1]. Проблема перечисления пятиугольных паркетов имеет богатую историю[4].
  • Известно 3 типа шестиугольников, способных замостить плоскость[4][33].
  • Невозможно замостить плоскость одинаковыми выпуклыми многоугольниками с числом сторон, большим или равным семи[4][34].

См. также

  • Диаграмма Вороного
  • Триангуляция Делоне
  • Мозаика Пенроуза
  • Проблема четырёх красок
  • Стереографическая проекция
  • Замощение (компьютерная графика)

Напишите отзыв о статье «Паркет (геометрия)»

  1. 1 2 Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/PentagonTiling.html Pentagon Tiling] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. Tilings and Patterns.
  3. [math.ru/lib/460 Как решают нестандартные задачи] / Под ред. В. О. Бугаенко. — М.: МЦНМО, 2008. — С. 49. — 96 с. — ISBN 978-5-94057-331-9.
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Дэвид А. Кларнер. Математический цветник.
  5. [www.encyclopediaofmath.org/index.php/Prototile Prototile]. Encyclopedia of Mathematics. [www.webcitation.org/6JK8RxQnm Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013].
  6. 1 2 Кокстер, Введение в геометрию, 1966, §6, с. 100 — 104.
  7. 1 2 3 Henry Martyn Cundy, A. P. Rollett. Mathematical Models. — 2nd ed.. — Oxford University Press, 1961. — С. 59—65.
  8. Paul Bourke. [paulbourke.net/geometry/polyhedra/ Uniform Polyhedra]. [www.webcitation.org/6JK8SwSwv Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013].
  9. 1 2 3 4
  10. 1 2 [mathforum.org/sum95/suzanne/whattess.html What Is a Tessellation?]. Math Forum. [www.webcitation.org/6JK8RGRgv Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013].
  11. 1 2 3 Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.
  12. 1 2 Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. ред. М. Д. Аксёнова; метод. и отв. ред. В. А. Володин. — М.: Аванта+, 2003. — С. 297—300. — 688 с. — ISBN 5-94623-072-7.
  13. Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/RegularTessellation.html Regular Tessellation] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  14. Steven Gillispie. [staff.washington.edu/gillisp/isogpolys/ptilings/platotilings.html The Platonic planar tilings]. [web.archive.org/web/20081026040143/staff.washington.edu/gillisp/isogpolys/ptilings/platotilings.html Архивировано из первоисточника 26 октября 2008].
  15. Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/SemiregularTessellation.html Semiregular Tessellation] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  16. 1 2 3 Steven Dutch. [www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/archtil.htm Archimedean Tilings] (2 июля 1999). [web.archive.org/web/20130120100320/www.uwgb.edu/dutchs/SYMMETRY/archtil.htm Архивировано из первоисточника 20 января 2013].
  17. 1 2 3 John Baez. [johncarlosbaez.wordpress.com/2012/02/05/archimedean-tilings-and-egyptian-fractions/ Archimedean Tilings and Egyptian Fractions]. Azimuth (5 февраля 2012). [www.webcitation.org/6JK3me27y Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013].
  18. М. Веннинджер. Модели многогранников = Polyhedron Models / Перевод с английского В. В. Фирсова, под редакцией и с послесловием И. М. Яглома. — М.: Мир, 1974. — 236 с.
  19. George Hart. [www.georgehart.com/virtual-polyhedra/quasi-regular-info.html Quasiregular Polyhedra]. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. [www.webcitation.org/6JK8QekgY Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013].
  20. H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
  21. Steven Dutch. [www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/uniftil.htm Uniform Tilings] (2 июля 1999). [web.archive.org/web/20130120100254/www.uwgb.edu/dutchs/SYMMETRY/uniftil.htm Архивировано из первоисточника 20 января 2013].
  22. (archived at [www.webcitation.org/5sxsFR2i9 WebCite])
  23. 1 2 David Austin. [www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-penrose Penrose Tiles Talk Across Miles]. Feature Column from the AMS. [www.webcitation.org/6JK8U9U9L Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013].
  24. [tilings.math.uni-bielefeld.de/people/r_penrose R. Penrose]. Tilings Encyclopedia. [www.webcitation.org/6JK8VPo76 Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013].
  25. 1 2
  26. [maxwelldemon.com/2010/04/01/socolar_taylor_aperiodic_tile/ Socolar and Taylor’s aperiodic tile]. Maxwell’s Demon. [www.webcitation.org/6JK8Op7T3 Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013].
  27. Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/SphericalPolyhedron.html Spherical Polyhedron] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  28. Кокстер, Введение в геометрию, 1966, гл. 16, с. 415 — 440.
  29. 1 2 Мартин Гарднер. Математические головоломки и развлечения = Mathematical Puzzles and Diversions / Пер. Ю. А. Данилова, под ред. Я. А. Смородинского. — 2-е. — М.: Мир, 1999. — ISBN 5-03-003340-8.
  30. Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/TriangleTiling.html Triangle Tiling] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  31. Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/QuadrilateralTiling.html Quadrilateral Tiling] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  32. Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/HexagonTiling.html HexagonTiling] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  33. Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/Tiling.html Tiling] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

  • А. Н. Колмогоров [web.archive.org/web/20110614220506/www.kolmogorov.pms.ru/kvant-parkety_iz_pravilnyh_mnogougolnikov.html Паркеты из правильных многоугольников] // Квант. — 1970. — № 3.
  • Ю. А. Шашкин [web.archive.org/web/20060102233105/virlib.eunnet.net/mif/text/n0399/1.html Паркеты] // МИФ. — 1998—99. — № 3.
  • О. Михайлов [arbuz.uz/w_parket.html Одиннадцать правильных паркетов] // Квант. — 1979. — № 2. [web.archive.org/web/20130522130646/www.arbuz.uz/w_parket.html Архивировано] из первоисточника 22 мая 2013.
  • Дэвид А. Кларнер. Математический цветник. Сборник статей и задач = The Mathematical Gardner / Пер. с англ. Ю. А. Данилова; под ред., с предисл. и прилож. И. М. Яглома. — М: Мир, 1983. — С. 153—328. — 494 с.
  • Г. С. М. Кокстер. Введение в геометрию = Introduction to geometry / Пер. с англ. А. Б. Катка и С. Б. Каток; под ред. Б. А. Розенфельда и И. М. Яглома. — М: Наука, 1966. — 648 с.
  • Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. Tilings and Patterns. — W. H. Freeman and Company, 1987. — ISBN 0-7167-1193-1.

Ссылки

  • Хайдар Нурлигареев. [elementy.ru/problems/42 Замощения]. Элементы. [web.archive.org/web/20130816181110/elementy.ru/problems/42 Архивировано из первоисточника 16 августа 2013].
  • [netnotes.narod.ru/math/parket1.html Геометрические паркеты]. Растрёпанный Блокнот. [web.archive.org/web/20111104152142/netnotes.narod.ru/math/parket1.html Архивировано из первоисточника 4 ноября 2011].
  • Влад Алексеев. [im-possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html Математическое искусство М.К. Эшера]. Невозможный мир. [web.archive.org/web/20130808123031/im-possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html Архивировано из первоисточника 8 августа 2013].
  • Wolfram Alpha учащимся [www.mathler.narod.ru/sc/Tilings.html Замощения]
  • Jaap Scherphuis. [www.jaapsch.net/tilings/ Tilings]. Jaap’s Puzzle Page. [www.webcitation.org/6JK8WAQ2Q Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013].
  • Don Hatch. [www.plunk.org/~hatch/HyperbolicTesselations/ Hyperbolic Planar Tessellations]. — Изображения усечённых гиперболических паркетов. [www.webcitation.org/6JK8XdclZ Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013].
  • David E. Joyce. [aleph0.clarku.edu/~djoyce/poincare/ Hyperbolic Tessellations]. — Java-апплет для отрисовки правильных и квазиправильных паркетов на гиперболической плоскости. [www.webcitation.org/6JK8Yv0U9 Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013].
  • Vladimir Bulatov. [bulatov.org/math/1101/abstract.html Tilings of the hyperbolic space and their visualization]. Joint MAA/AMS meeting, New Orleans (7 января 2011). [www.webcitation.org/6JK8ZW4Vp Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013].
  • Demonolog. [surfory.com/33553/photo/album-550c4e881f395da82a8b45c2 Гибридное замощение] Применение векторной графики для изображения непериодических замощений.

Отрывок, характеризующий Паркет (геометрия)

Поделиться:
Нет комментариев

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.